Modelo del problema

En base a lo mostrado con anterioridad, pasamos a mostrar el modelo final de nuestro problema.

Variables de decisión

Consideramos 4 categorías para agrupar los alimentos: desayunos (Breakfast, B), primeros (Soup and Salats, S), segundos (Meats, M) y postres (Desserts, D).

  • \(B_{ij} = \)''Objeto de desayuno \(i\) incluido en menú \(j\)''
  • \(S_{ij} = \)''Objeto de primero \(i\) incluido en menú \(j\)''
  • \(M_{ij} = \)''Objeto de segundo \(i\) incluido en menú \(j\)''
  • \(D_{ij} = \)''Objeto de postre \(i\) incluido en menú \(j\)''

son todas binarias

Coeficientes

Cada objeto tiene los siguientes coeficientes, siendo \(X \in \{B, S, M, D\}\):

  • \(m_i^X = \)''Masa del objeto \(i\) de categoría \(X\)''
  • \(e_i^X = \)''Valor calórico del objeto \(i\) de categoría \(X\)''
  • \(p_i^X = \)''Valor protéico del objeto\(i\) de categoría \(X\)''
  • \(h_i^X = \)''Valor de carbohidratos del objeto \(i\) de categoría \(X\)''
  • \(g_i^X = \)''Valor de grasa del objeto \(i\) de categoría \(X\)''
  • \(s_i^X = \)"Número de veces que el objeto \( X_i \) puede aparecer en la dieta"
Restricciones
  • \(E_{\mbox{sup}} = \)''Aporte calórico máximo diario requerido''
  • \(E_{\mbox{inf}} = \)''Aporte calórico mínimo diario requerido''
  • \(P_{\mbox{sup}} = \)''Aporte protéico máximo diario requerido''
  • \(P_{\mbox{inf}} = \)''Aporte protéico mínimo diario requerido''
  • \(H_{\mbox{sup}} = \)''Aporte de carbohidratos máximo diario requerido''
  • \(H_{\mbox{inf}} = \)''Aporte de carbohidratos mínimo diario requerido''
  • \(G_{\mbox{sup}} = \)''Aporte de grasas máximo diario requerido''
  • \(G_{\mbox{inf}} = \)''Aporte grasas mínimo diario requerido''

Debido a la linealidad del problema, este modelo nos proporcionará la misma solución óptima para todos los días \(d\geq 1\). Para evitar esta redundancia incluimos en el modelo una serie de restricciones sobre cada elemento de la base de datos para evitar que aparezcan estos elementos repetidos a lo largo de las dietas.

\(\sum_j^{k_B}B_{ij} \leq  s_i^B \hspace{1cm} 1 \leq j \leq d\)

\(\sum_j^{k_S}S_{ij} \leq  s_i^S \hspace{1cm} 1 \leq j \leq d\)

\(\sum_j^{k_M}M_{ij} \leq  s_i^M \hspace{1cm} 1 \leq j \leq d\)

\(\sum_j^{k_D}D_{ij} \leq  s_i^D \hspace{1cm} 1 \leq j \leq d\)



Indicadores
  • \(d = \)''Número de días de la dieta''
  • \(k_X = \)''Número de objetos de categoría \(X\)''
Sistema

f.o. \(\min \sum_j^d(\sum_i^{k_B}m^B_iB_{ij} + \sum_i^{k_S}m^S_iS_{ij} + \sum_i^{k_M}m^M_iM_{ij} + \sum_i^{k_D}m^D_iD_{ij}) \)

s.a.

\(\sum_i^{k_B}e^B_iB_{ij} + \sum_i^{k_S}e^S_iS_{ij} + \sum_i^{k_M}e^M_iM_{ij} + \sum_i^{k_D}e^D_iD_{ij} \leq E_{\mbox{sup}}  \hspace{1cm}   1 \leq j \leq d\)

\(\sum_i^{k_B}e^B_iB_{ij} + \sum_i^{k_S}e^S_iS_{ij} + \sum_i^{k_M}e^M_iM_{ij} + \sum_i^{k_D}e^D_iD_{ij} \geq E_{\mbox{inf}}  \hspace{1cm}   1 \leq j \leq d\)

\(\sum_i^{k_B}p^B_iB_{ij} + \sum_i^{k_S}p^S_iS_{ij} + \sum_i^{k_M}p^M_iM_{ij} + \sum_i^{k_D}p^D_iD_{ij} \leq P_{\mbox{sup}}  \hspace{1cm}   1 \leq j \leq d\)

\(\sum_i^{k_B}p^B_iB_{ij} + \sum_i^{k_S}p^S_iS_{ij} + \sum_i^{k_M}p^M_iM_{ij} + \sum_i^{k_D}p^D_iD_{ij} \geq P_{\mbox{inf}}  \hspace{1cm}   1 \leq j \leq d\)

\(\sum_i^{k_B}h^B_iB_{ij} + \sum_i^{k_S}h^S_iS_{ij} + \sum_i^{k_M}h^M_iM_{ij} + \sum_i^{k_D}h^D_iD_{ij} \leq H_{\mbox{sup}}  \hspace{1cm}   1 \leq j \leq d\)

\(\sum_i^{k_B}h^B_iB_{ij} + \sum_i^{k_S}h^S_iS_{ij} + \sum_i^{k_M}h^M_iM_{ij} + \sum_i^{k_D}h^D_iD_{ij} \geq H_{\mbox{inf}}  \hspace{1cm}   1 \leq j \leq d\)

\(\sum_i^{k_B}g^B_iB_{ij} + \sum_i^{k_S}g^S_iS_{ij} + \sum_i^{k_M}g^M_iM_{ij} + \sum_i^{k_D}g^D_iD_{ij} \leq G_{\mbox{sup}}  \hspace{1cm}   1 \leq j \leq d\)

\(\sum_i^{k_B}g^B_iB_{ij} + \sum_i^{k_S}g^S_iS_{ij} + \sum_i^{k_M}g^M_iM_{ij} + \sum_i^{k_D}g^D_iD_{ij} \geq G_{\mbox{inf}}  \hspace{1cm}   1 \leq j \leq d\)

\(\sum_i^{k_B}B_{ij} = 2 \hspace{1cm} 1 \leq j \leq d\)

\(\sum_i^{k_S}S_{ij} = 2 \hspace{1cm} 1 \leq j \leq d\)

\(\sum_i^{k_M}M_{ij} = 2 \hspace{1cm} 1 \leq j \leq d\)

\(\sum_i^{k_D}D_{ij} = 2 \hspace{1cm} 1 \leq j \leq d\)

Última modificación: lunes, 10 de febrero de 2020, 20:56